幾何問題 - (續) (2003-02-10 23:47:59)

題目如下：
已知角１及角２、邊長ａ及ｂ，還有向量ＯＣ，試求向量ＯＡ及ＯＢ。

續上一篇，我把我的idea介紹給有志創作好遊戲的朋友們，希望大家一起向理想邁進。

首先，先了解一下我畫的這張3D切面示意圖。XY軸是指遊戲中攝影機的座標軸，分別是水平軸X與垂直軸Y，另外有個Z軸，是在垂直於示意圖的方向。
三角形OEF是攝影機，O是攝影機的位置，角EOF是攝影機的能見視角，角2是角EOF的一半，而角1是攝影機的仰角。

理論上，天空若是一個平面，這個平面應該與X軸平行，並向無限遠延伸出去，OK，讓我們將天空的高度設為b。
天空會和X軸相交，但是在無限遠處（數學很有哲理吧！）。我將這個理想中的狀態做了點小改變，讓天空和X軸提前在G點相交，這樣一來，我的天空就只剩下HG這一段了，而落在攝影機內的DG就是我們準備畫出來的部分。

首先求出點D與G的座標，但這兩個點並不是我們最後用來畫平面的點（兩個點也畫不出個蛋），我們需要的是D與G在Z軸與攝影機的四角錐分別相交的 四個點。為了求出D需要在Z軸平移多少會和攝影機相交，我們需要知道OA的向量長（至於如何用OA去算平移量，這又是另外一課了）。

在由OA及OB算出最後平面的四個點，我們就能畫出天空了。當然G點要做個小修飾，不過也不困難，就是將天空平面的透明度由D點的0%加到G點的100%，如此就能讓天空像是無限延伸並融入背景的霧色。

如果你還有疑惑，大概會是想問，HG明明這麼斜看起來怎會像和X軸平行。這個問題問得好，但我們控制b/a的比值，這個值若小到某個程度，基本上是看不出來和平行有什麼差別。

另外a長可以縮到剛好在攝影機的鏡頭前，這樣DG就可以非常非常小。好，我知道你又有問題了，DG既然這麼靠近鏡頭，那不就把其他的3D物件都擋 住了。這也很容易解決，我們只要在畫圖的一開始就把天空畫完，並把這張圖當成背景，然後再開始畫上其他的3D物件，那看起來就Perfect了！

最後談談這個方法的限制。
第一點並不算是個限制，在攝影機爬到很高的地方，G點以下需要再做一些處理，b/a的比值最好也隨著調整，看起來比較擬真。
第二點是個小限制，攝影機不能以OC軸旋轉，不過這也不是個大問題，因為這種情況不多見，而且還是有辦法算出正確的平面，只是複雜很多。
第三點呢，仰角1最好不要超過(90度-角2)，因為這樣攝影機要跨過Y軸，我們必需再多畫另一面的天空，不過still not a big deal.

目前我實作出來的效果真的蠻不錯的，若有什麼建議可以再與我討論。